Der Spielablauf ist folgender. Ich entnehme aus der Urne immer 2 Kugeln und werfe nach den vorgegebenen Bedingungen anschliessend eine Kugel in die Urne zurück. Der Urnenbestand vermindert sich also nach jeder Spielrunde um eine Kugel. Sei n+m die Anzahl der Kugeln in der Urne beim Spielbeginn, dann sind n+m - 1 Spielrunden möglich. n,m = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; 2>=n+m<=9
folgende Fallunterscheidungen sind zu treffen:
| Urnenbestand alt | Entnahme | Urnenbestand neu | |||
|---|---|---|---|---|---|
| weisse Kugeln | schwarze Kugeln | weisse Kugeln | schwarze Kugeln | weisse Kugeln | schwarze Kugeln |
| n | m | 0 | 2 | n | m-1 |
| n | m | 1 | 1 | n | m-1 |
| n | m | 2 | 0 | n-2 | m+1 |
In allen drei Spielmöglichkeiten verändert sich
der Bestand der schwarzen Kugeln jeweils um 1 Kugel. Die weissen Kugeln
verändern ihren Bestand in der Urne nur im letzten Fall. Nach der
Spielvorschrift vermindert sich in diesem Fall der Urnenbestand um 2 weisse
Kugeln und der Bestand der schwarzen Kugeln erhöht sich in der Urne
um 1 Kugel.
Somit folgt, ist die Anzahl der weissen Kugeln in der
Urne beim Spielbeginn eine gerade Zahl, bleiben am Ende der Spielrunden
0 weisse Kugeln übrig. Die Farbe der letzten Kugel ist somit schwarz.
Ist die Anzahl der weissen Kugeln in der Urne beim Spielbeginn eine ungerade
Zahl, so bleiben nach der beschriebenen Vorschrift eine weisse Kugel übrig.
Die Farbe der letzten Kugel ist also weiss.
Die Farbe der letzten Kugel hängt also von der geraden
oder ungeraden Zahl der weissen Kugeln im Urnenbestand beim Spielbeginn
ab.
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